《我的世界》搞數(shù)學(xué)研究，估算歐拉數(shù)誤差僅0.00766%！數(shù)學(xué)博士的跨界花活兒火了

西風(fēng) 發(fā)自 凹非寺量子位 | 公眾號 QbitAI在《我的世界》里估算歐拉數(shù)e，誤差僅約0.00766%！兩位數(shù)學(xué)博士“跨界”整了個(gè)大大大活兒——用《我的世界》搞數(shù)學(xué)研究，通過游戲機(jī)制成功估算各種數(shù)學(xué)常數(shù)的值。√2、π、歐拉數(shù)e、阿佩里常數(shù)ζ(3)，難度逐級遞增，但都是他們的實(shí)驗(yàn)對象。對于阿佩里常數(shù)ζ(3)，用這兩位作者的話說，一般人可能見都沒見過，但也能用《我的世界》近似算出值來，而且誤差僅約為0.4%。實(shí)驗(yàn)結(jié)合游戲機(jī)制用到了各種方法，比如近似π值時(shí)，使用了蒙特卡洛積分法，借助游戲中的僵尸疣豬獸史萊姆來完成。兩位作者分別是來自自霍林斯大學(xué)、美國羅諾克大學(xué)的助理教授。論文中，他們不僅介紹了每個(gè)常數(shù)的數(shù)學(xué)歷史背景，詳細(xì)說明了如何在《我的世界》中設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)來近似計(jì)算這些值，甚至還提出了具體的改進(jìn)建議，為大伙兒留下了“課后作業(yè)”來挑戰(zhàn)。作者強(qiáng)調(diào)這些實(shí)驗(yàn)的目的不是為了獲得最精確的近似值，而是為了激發(fā)大家從這項(xiàng)研究中找到靈感，用有趣的方式探討復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。希望本文能夠展示一小部分?jǐn)?shù)學(xué)與《我的世界》結(jié)合的可能性，并激勵(lì)人們以有趣和引人入勝的方式探索復(fù)雜的數(shù)學(xué)主題。雖然我們選擇使用《我的世界》來近似無理數(shù)，但我們相信還有許多其它環(huán)境適合進(jìn)行此類實(shí)驗(yàn)。所以，究竟是如何做到的？用《我的世界》近似數(shù)學(xué)常數(shù)的值在估算數(shù)學(xué)常數(shù)前，先來淺淺了解一下《我的世界》中將被用作“實(shí)驗(yàn)道具”的材料。漏斗（Hopper）：如果一個(gè)玩家/動物/怪物站在漏斗上方被，那么漏斗會收集該生物掉落的物品。因此，漏斗可以用來記錄生物被的位置。除收集物品外，漏斗還具有另一個(gè)特性，它們可以以每秒2.5個(gè)物品的恒定速率釋放物品。漏斗釋放物品的能力可以開啟或關(guān)閉。由于漏斗以恒定速率釋放物品，它們可以用作計(jì)時(shí)器。例如，如果一個(gè)漏斗釋放了25個(gè)物品，那么我們知道漏斗釋放物品的時(shí)間在10秒到10.4秒之間。當(dāng)然《我的世界》中有制作更精確計(jì)時(shí)器的方法，但對于該實(shí)驗(yàn)來說，漏斗計(jì)時(shí)器夠用。投擲器（dropper）：投擲器是一個(gè)可以投擲物品的方塊，可同時(shí)容納9種不同物品。當(dāng)被激活時(shí)，投擲器會隨機(jī)選擇其中的一個(gè)物品進(jìn)行投擲。因此，投擲器可以用作隨機(jī)化工具。例如，如果投擲器中有5種不同的物品，那么特定物品被投擲出去的概率是1/5。偵測器（observer）：偵測器是一個(gè)方塊更新檢測器，可以檢測到它面對的方塊狀態(tài)是否發(fā)生變化。一個(gè)方塊可能發(fā)生的變化包括作物生長、冰融化、火勢蔓延……這些變化是隨機(jī)發(fā)生的，因此可以通過偵測器檢測這些變化來創(chuàng)建一個(gè)隨機(jī)化工具。接下來就可以玩“數(shù)學(xué)游戲”啦～PS：題目難度由簡入難√2早在2000多年前，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派用反證法證明了√2不能寫作兩整數(shù)之比，√2也成為了人們發(fā)現(xiàn)的第一個(gè)無理數(shù)。現(xiàn)在，√2也是該研究第一個(gè)要用《我的世界》估算的數(shù)學(xué)常數(shù)。方法利用了45°-45°-90°直角三角形的邊長比是1 : 1 : √2。這樣的三角形在《我的世界》中很容易制作，因?yàn)椤段业氖澜纭分校胖萌魏畏綁K都必須放在網(wǎng)格上。要近似計(jì)算√2的值，可以簡單地分別測量玩家以恒定速度沿著一條直角邊和斜邊行走所需的時(shí)間，斜邊長度是直角邊的√2倍，行走時(shí)間比率也應(yīng)該近似為√2。如前所述，漏斗以恒定速率釋放物品，可以計(jì)算玩家行走期間所釋放的物品數(shù)量，以此來計(jì)時(shí)。實(shí)驗(yàn)中，沿著斜邊行走完，漏斗釋放了57個(gè)物品，沿著一條直角邊行走完，漏斗釋放了41個(gè)物品。所以得出：√2保留到小數(shù)點(diǎn)后四位是√2=1.4142，所以近似值誤差為1.70%。作者還表示這種方法還可以改進(jìn)：一個(gè)很明顯的改進(jìn)方法是構(gòu)建一個(gè)更大的三角形，近似值將更準(zhǔn)確。或者可以讓行走速度變慢，玩家可以在出發(fā)前喝下緩慢藥水。以此類推可以估算√5的值，但√7不行，7不能表示為兩個(gè)完全平方數(shù)的和。這引出了一個(gè)問題：哪些數(shù)字可以表示為兩個(gè)平方數(shù)的和？作者認(rèn)為對于幾何學(xué)老師來說，可以使用這樣的實(shí)驗(yàn)向幾何學(xué)生介紹基本的數(shù)論。下一個(gè)要估算的數(shù)學(xué)常數(shù)是——π1768年約翰·海因里希·朗伯（Johann Heinrich Lambert）證明π是無理數(shù)。1882年費(fèi)迪南德·馮·林德曼（Carl Louis Ferdinand von Lindemann）首次證明π是超越數(shù)。希臘數(shù)學(xué)家阿基米德通過在圓內(nèi)外構(gòu)建正多邊形，為π的值找到了上下界。當(dāng)使用96邊形時(shí)，阿基米德發(fā)現(xiàn)3.1408<π<3.1429。計(jì)算機(jī)的發(fā)展帶來了計(jì)算π值的不同方法。蒙特卡洛方法就是其中一類，通過評估多次隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果來近似值。蒙特卡洛方法中的一種，蒙特卡洛積分，通過繪制一個(gè)內(nèi)切于正方形的單位圓，然后在正方形內(nèi)均勻隨機(jī)地散布點(diǎn)。由于圓的面積是π，正方形的面積是4，圓內(nèi)點(diǎn)的數(shù)量與總點(diǎn)數(shù)的比將大致等于π/4。《我的世界》中同樣可以重現(xiàn)蒙特卡洛積分法，近似計(jì)算π值。《我的世界》中的每個(gè)方塊都放置在網(wǎng)格上，所以無法制作一個(gè)完美的圓形。然而，網(wǎng)上有許多工具可以在《我的世界》中近似劃定一個(gè)圓的邊界。作者使用了一個(gè)《我的世界》圓形生成器，做了一個(gè)半徑為11的近似圓形：接下來的問題是找一種在《我的世界》中生成隨機(jī)點(diǎn)的方法。為此，作者利用了一種叫做“史萊姆”的生物的行為。使用史萊姆是因?yàn)榕c其他生物不同，當(dāng)附近沒有玩家時(shí)史萊姆會繼續(xù)移動，并且它們會隨機(jī)改變方向。而大多數(shù)其他生物有向東南方向行走的傾向，所以它們會聚集在正方形的東南角。接著作者們讓另一種生物——僵尸疣豬獸（zoglin），史萊姆，使用漏斗跟蹤史萊姆是否在圓內(nèi)被。在實(shí)驗(yàn)中，共有619個(gè)史萊姆被，其中508個(gè)是在圓內(nèi)被的。所以得到了近似值：近似誤差為4.49%。因?yàn)槊商乜宸椒ㄍǔＪ諗枯^慢，所以作者表示對這個(gè)相對較大的誤差并不驚訝。如果童鞋們自己想嘗試的話，改進(jìn)方法：增大圓的大小和增加被的史萊姆數(shù)量。在這種蒙特卡洛方法中，圓的大小通常不會影響近似值的準(zhǔn)確性，但由于在《我的世界》中無法制作完美的圓形，增大圓的大小將提高近似值的準(zhǔn)確性。同樣，用來近似計(jì)算π值的方法，也可以用來近似計(jì)算其它定積分的值。例如，假設(shè)你想使用《我的世界》進(jìn)行蒙特卡洛積分以近似計(jì)算積分：通過作者創(chuàng)建的Desmos頁面的幫助，可以繪制出y=f(x)曲線與x軸之間的區(qū)域。回想一下，定積分∫??f(x)?dx的值是由曲線y=f(x)與x軸在x=a到x=b之間圍成的區(qū)域的凈面積。因此，在《我的世界》中近似計(jì)算定積分的一個(gè)方法是，首先找出在x軸上方區(qū)域和x軸下方區(qū)域死亡的史萊姆數(shù)量之間的差異。將這個(gè)差異乘以總面積再除以死亡的史萊姆總數(shù)，就可以得到定積分值的近似值。在《我的世界》中，可以用下面這個(gè)函數(shù)近似曲線y=f(x)：這里?x?將x四舍五入到最近的整數(shù)。作者們表示這可能是一個(gè)有趣的實(shí)驗(yàn)，適用于正在學(xué)習(xí)積分微積分的學(xué)生。歐拉數(shù)e接下來繼續(xù)上難度——?dú)W拉數(shù)e，歐拉數(shù)e的值保留到小數(shù)點(diǎn)后五位是e=2.71828。大家可能記得e是自然對數(shù)的底數(shù)，也是復(fù)合利息公式的一部分。它被定義為以下極限：雖然以e為底的對數(shù)計(jì)算早在1618年就已經(jīng)開始，但那時(shí)并沒有使用e這個(gè)符號。所謂的e“發(fā)現(xiàn)”最早是由雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）在1638年研究連續(xù)復(fù)利時(shí)偶然發(fā)得出的，他嘗試計(jì)算上述極限，利用二項(xiàng)式定理證明了e的值在2和3之間，但當(dāng)時(shí)e還沒有一個(gè)具體的名字或更精確的近似值。歐拉（Euler）最終將對數(shù)與e這個(gè)數(shù)聯(lián)系起來，他計(jì)算了上述極限，并用符號e表示其值，1737年證明了e是無理數(shù)。到了1873年，查爾斯·埃爾米特（Charles Hermite）進(jìn)一步證明了e是超越數(shù)。話說回來，在《我的世界》中近似e的值，要了解歐拉1748年提出的e的表達(dá)式：現(xiàn)在考慮函數(shù)f(x)=e?，這個(gè)函數(shù)可以用它的麥克勞林級數(shù)表示為：注意，當(dāng)x=?1時(shí)，得到到1/e的交錯(cuò)級數(shù)展開式：我們將看到，這個(gè)表達(dá)式的第n個(gè)部分和是一個(gè)特定計(jì)數(shù)問題的解。現(xiàn)在描述這個(gè)問題，令：定義：[n]的排列是[n]中元素的一個(gè)確定順序的排列。[n]的排列可以看作數(shù)字1到n的線性排序。例如，[3]的排列包括123、132、213、231、312和321。[n]的排列總數(shù)是：這個(gè)乘積傳統(tǒng)上用n!表示。定義：一個(gè)錯(cuò)位排列是沒有固定點(diǎn)的[n]的排列。換句話說，如果ω是[n]的一個(gè)排列，那么那么當(dāng)且僅當(dāng)ω是一個(gè)錯(cuò)位排列。例如，考慮[6]的以下排列：ω=324165。這不是一個(gè)錯(cuò)位排列，因?yàn)閿?shù)字2在第二個(gè)位置，即ω?=2。然而，排列ν=431562是一個(gè)錯(cuò)位排列，因?yàn)椋何覀冇肈(n)表示[n]的錯(cuò)位排列數(shù)，可以證明：比較等式（2）和（3），可以看到給出了等式（2）的第n個(gè)部分和。因此，可以看到1/e近似等于隨機(jī)排列是錯(cuò)位排列的概率。特別地：了解了這些過后，在《我的世界》中如何近似計(jì)算？兩位作者制造了一臺機(jī)器，這臺機(jī)器能：生成一個(gè)排列；檢查該排列是否為錯(cuò)排。一旦機(jī)器被制造出來，就讓它運(yùn)行多次，生成足夠大的樣本。如前所述，投擲器可以用作隨機(jī)器。由于投擲器最多可以容納9種不同的物品，所以可以利用其隨機(jī)彈出機(jī)制來創(chuàng)建 [9]的排列。投擲器中的每個(gè)格子對應(yīng)[9]中的一個(gè)數(shù)字。彈出的物品的順序可以被視為一個(gè)排列。而且在《我的世界》中是有方法可以自動檢查投擲器彈出了哪個(gè)物品。具體如何操作這里就不多贅述了。因此，可以制造一臺機(jī)器來檢查所生成的排列是否為錯(cuò)排。這是通過檢查與某個(gè)數(shù)字對應(yīng)的格子是否在那個(gè)位置被彈出來實(shí)現(xiàn)的。如果9個(gè)格子中的每一個(gè)都被彈出到了與它們編號不對應(yīng)的位置，那么這個(gè)排列就是一個(gè)錯(cuò)排。作者在實(shí)驗(yàn)生成的排列中，錯(cuò)排比例大約是1/e。也就是說：共生成了647個(gè)排列，其中238個(gè)是錯(cuò)排。所以e的近似值：近似誤差大約是0.00766%，準(zhǔn)確度非常高了。作者表示如果讓機(jī)器無限運(yùn)行，1/e的近似誤差將小于：兩位作者同樣再次鼓勵(lì)大家自己嘗試一下，或許還能搞個(gè)新定義：如果一個(gè)排列ω的條目交替上升和下降，那么稱這個(gè)排列為交錯(cuò)排列，即ω1<ω2>ω3< ….例如，排列1423是交錯(cuò)的，但排列1342不是，因?yàn)棣?≯ ω3。如果讓An表示[n]的交錯(cuò)排列數(shù)，那么安德烈定理（André’s Theorem）表明：這意味著你可以使用《我的世界》來近似計(jì)算sec(1)+tan(1)的值。布置完“課后作業(yè)”，兩位助理教授還特意留下這么一句話：如果你完成了這個(gè)實(shí)驗(yàn)，請聯(lián)系作者并告訴我們你的結(jié)果。還沒完，還有一個(gè)數(shù)學(xué)常數(shù)，而且可能是你以前未曾見過的。用作者的話說，即使你遇到過它，可能也不知道它有一個(gè)名字——阿佩里常數(shù)ζ(3)ζ(3)，被定義為正立方數(shù)倒數(shù)的和，即：之所以被記為ζ(3)，是因?yàn)樗窃趕=3時(shí)黎曼ζ函數(shù)（Riemann zeta function）的值。一般來說，黎曼ζ函數(shù)定義為：歐拉證明了黎曼ζ函數(shù)的以下乘積公式：阿佩里常數(shù)的值保留到小數(shù)點(diǎn)后五位是 ζ(3) = 1.20205。1979年，羅杰·阿佩里（Roger Apéry）證明了ζ(3)是無理數(shù)。這個(gè)數(shù)字是否是超越數(shù)目前仍然是一個(gè)未解決的問題。阿佩里常數(shù)有各種級數(shù)和積分的表示形式。其中一些表示形式非常復(fù)雜。然而，作者表示阿佩里常數(shù)的值可以通過概率方法確定，阿佩里常數(shù)的倒數(shù)是隨機(jī)選取的任意三個(gè)正整數(shù)互質(zhì)的概率。為什么：要使三個(gè)正整數(shù)互質(zhì)，就不能有任何質(zhì)數(shù)同時(shí)整除這三個(gè)數(shù)。例如，6、9、21不是互質(zhì)的，因?yàn)樗鼈兌伎梢员?整除。對于一個(gè)質(zhì)數(shù)p，p整除一個(gè)隨機(jī)整數(shù)的概率是1/p。因此，p同時(shí)整除這三個(gè)數(shù)字的概率是1/p3。這意味著至少有一個(gè)數(shù)字不被p整除的概率是：讓P?表示三個(gè)隨機(jī)選定的正整數(shù)互質(zhì)的概率，由此得出：比較等式（4）和（5），可以看出：OK，那在《我的世界》中如何近似計(jì)算阿佩里常數(shù)。作者們反復(fù)生成了三個(gè)隨機(jī)數(shù)的集合，稱為三元組，并手動檢查這些數(shù)字是否互質(zhì)。互質(zhì)的三元組的比例將大約等于 ζ(3) 的倒數(shù)。如前文所述，《我的世界》中偵測器能夠檢測到它面對的方塊狀態(tài)的變化。而《我的世界》中許多方塊會在隨機(jī)間隔改變狀態(tài)。通常，每0.05秒，游戲隨機(jī)選擇一個(gè)16×16×16的立方體中的3個(gè)方塊來改變狀態(tài)。如果選定的方塊有改變狀態(tài)的能力，它們將以一定的預(yù)定概率改變狀態(tài)。為了生成一個(gè)隨機(jī)數(shù)三元組，作者安排了三個(gè)偵測器，每個(gè)偵測器面對自己的竹子植物，還使用了一個(gè)漏斗計(jì)時(shí)器來記錄每個(gè)竹子植物改變狀態(tài)所需的時(shí)間。belike：需要注意的是，生成的隨機(jī)數(shù)并不遵循均勻分布，而是遵循負(fù)二項(xiàng)分布。在實(shí)驗(yàn)中，作者收集了70個(gè)隨機(jī)數(shù)三元組，發(fā)現(xiàn)58個(gè)三元組是互質(zhì)的。于是得到ζ(3)的近似值：近似誤差約為0.4%。作者補(bǔ)充道，這種方法生成的數(shù)字范圍在最小3和最大838之間，在獲取廣泛多樣的數(shù)字方面比預(yù)期做得更好。最后來看“課后作業(yè)”。回想一下，三個(gè)隨機(jī)選取的正整數(shù)互質(zhì)的概率是 ζ(3)?1。一般來說，Pm，即隨機(jī)均勻選擇的m個(gè)正整數(shù)互質(zhì)的概率，是ζ(m)?1。這意味著你可以使用上述方法來近似各種m值的ζ(m)。特別是，你可以近似π的任何偶數(shù)次冪的值，因?yàn)棣?2k)總是π的2k次方的有理倍數(shù)。例如，由于ζ(2)=π2/6，因此：這意味著可以通過生成一對數(shù)字并檢查它們是否互質(zhì)來近似π2的值。對于那些尋求挑戰(zhàn)的人，還可嘗試通過在《我的世界》中制造一個(gè)機(jī)器來自動化檢查過程，該機(jī)器可以找到兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)。如果最大公約數(shù)是1，那么這些數(shù)字就是互質(zhì)的。作者表示：制造這臺機(jī)器可能會很困難，但并非不可能在《我的世界》中完成。好嘛，有哪位朋友挑戰(zhàn)一下下～論文鏈接：https://arxiv.org/abs/2411.18464— 完 —MEET2025大會在即倒計(jì)時(shí)一周 ? 歡迎報(bào)名?一年一度的科技頂流盛會就要來了！??兩場GenAI Talk，一場具身智能圓桌，直至?xí)r下熱門議題！工業(yè)界學(xué)術(shù)界頂流大咖齊聚，還有兩份關(guān)鍵參考「年度AI趨勢報(bào)告」、「2024人工智能年度評選」榜單即將發(fā)布！了解詳情?點(diǎn)擊報(bào)名參會，12月11日，期待與您一起預(yù)見智能科技新未來！左右滑動查看最新嘉賓陣容點(diǎn)這里?關(guān)注我，記得標(biāo)星哦～一鍵三連「點(diǎn)贊」、「分享」和「在看」科技前沿進(jìn)展日日相見 ~